2011 年考研数学（二） 第 5 题

乘积型 $z=f(x)g(y)$ 的二阶判别很干净：混合偏导 $B=f^{\prime }(0)g^{\prime }(0)=0$，于是只剩 $A>0$ 与 $C$ 同号（$AC>0$）。真正的「符号陷阱」是 $g(0)<0$：想让 $A=f^{\prime \prime }(0)g(0)>0$，必须 $f^{\prime \prime }(0)<0$；再由 $AC>0$ 且 $f(0)>0$ 推出 $g^{\prime \prime }(0)>0$。抓住「负的 $g(0)$ 逼出负的 $f^{\prime \prime }(0)$」这条链，答案自然是 A。

本题考查多元函数无条件极值的充分条件（二阶判别法）。 需算出驻点处的 $A,B,C$ 并用 $AC-B^2>0,A>0$ 判定极小值。

由 $z=f(x)g(y)$ 得 $\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(x)g(y),\frac{\partial z}{\partial y}=f(x)g^{\prime }(y)$。因 $f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)=0$，两个一阶偏导在 $(0,0)$ 均为 $0$，故 $(0,0)$ 是驻点。

二阶偏导在 $(0,0)$ 处：
$$A=z_{xx}=f^{\prime \prime }(0)g(0),B=z_{xy}=f^{\prime }(0)g^{\prime }(0)=0,C=z_{yy}=f(0)g^{\prime \prime }(0).$$
取得极小值的充分条件是 $AC-B^2>0$ 且 $A>0$。

$AC-B^2=f^{\prime \prime }(0)g(0)\cdot f(0)g^{\prime \prime }(0)$。已知 $f(0)>0,g(0)<0$。要 $A=f^{\prime \prime }(0)g(0)>0$，由 $g(0)<0$ 需 $f^{\prime \prime }(0)<0$；此时再要 $AC>0$，即 $f^{\prime \prime }(0)g(0)f(0)g^{\prime \prime }(0)>0$，其中 $f^{\prime \prime }(0)g(0)>0,f(0)>0$，故需 $g^{\prime \prime }(0)>0$。综上 $f^{\prime \prime }(0)<0,g^{\prime \prime }(0)>0$。应选 A。