2011 年考研数学（二） 第 4 题

判断特解形式的核心是「共振」：右端指数 $e^{\pm \lambda x}$ 的指数 $\pm \lambda$ 恰好都是单特征根，故每一项都要额外乘 $x$（升一次）。因为 $\lambda$ 与 $-\lambda$ 是两个不同的单根，两项系数相互独立，应写成 $x(a{e}^{\lambda x}+b{e}^{-\lambda x})$；若错认为它们对称而写 $ax(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x})$（选 B），就漏掉了两指数系数可不同这一自由度。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=P_n(x)e^{kx}$ 特解的形式。 关键看指数 $k$ 是否为特征根。

对应齐次方程 $y^{\prime \prime }-{\lambda }^{2}y=0$ 的特征方程为 $r^2-{\lambda }^2=0$，特征根 $r_1=\lambda ,r_2=-\lambda$。

右端 $e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}$ 分两部分：
对 $e^{\lambda x}$，$k=\lambda$ 是单特征根，特解形如 $ax{e}^{\lambda x}$；
对 $e^{-\lambda x}$，$k=-\lambda$ 也是单特征根，特解形如 $bx{e}^{-\lambda x}$。
由叠加原理，合起来的特解形式为 $x(a{e}^{\lambda x}+b{e}^{-\lambda x})$。应选 C。