2011 年考研数学（二） 第 3 题

很多人一看到绝对值就想分段，其实 $(\ln |x|{)}^{\prime }=1/x$ 让求导直接绕过绝对值。把乘积取对数化为求和后，$f^{\prime }$ 是三个简单分式之和，通分后分子是二次三项式 $3x^2-12x+11$，判别式 $12>0$ 给出两个实根，且都落在定义域内（不与 $1,2,3$ 重合），所以驻点数为 $2$。

本题考查含绝对值对数函数的求导与驻点的概念。 驻点即 $f^{\prime }(x)=0$ 的点。

利用 $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$，把绝对值内的乘积拆成对数之和：$f(x)=\ln |x-1|+\ln |x-2|+\ln |x-3|$，于是
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}=\frac{3x^2-12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}.$$

令分子 $3x^2-12x+11=0$，判别式 $\Delta =144-132=12>0$，得 $x=2\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。这两个根都不等于 $1,2,3$（都在函数定义域内），故 $f(x)$ 有 $2$ 个驻点。应选 C。