2011 年考研数学（二） 第 2 题

关键的「陷阱信号」是题目只假设 $f$ 在一点可导——这是在提示不能用洛必达，只能凑导数定义。做法是利用 $f(0)=0$ 把每个 $\frac{f(\square )}{\square }$ 都补成差商 $\frac{f(\square )-f(0)}{\square -0}$，其中 $\square$（这里是 $x$ 与 $x^3$）都趋于 $0$，故两处极限都是 $f^{\prime }(0)$，作差得 $-f^{\prime }(0)$。

本题考查导数的定义。 注意 $f$ 只在 $x=0$ 一点可导，去心邻域内不一定可导，故不能用洛必达法则，必须回到导数定义。

把分式拆开，并利用 $f(0)=0$：
$$\frac{x^{2}f(x)-2f(x^3)}{x^3}=\frac{f(x)}{x}-2\cdot \frac{f(x^3)}{x^3}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}-2\cdot \frac{f(x^3)-f(0)}{x^3-0}.$$

当 $x\to 0$ 时，第一项 $\to f^{\prime }(0)$；由于 $x^3\to 0$，第二项 $\frac{f(x^3)-f(0)}{x^3-0}\to f^{\prime }(0)$。于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{2}f(x)-2f(x^3)}{x^3}=f^{\prime }(0)-2f^{\prime }(0)=-f^{\prime }(0).$$
应选 B。