2011 年考研数学（二）第 1 题

选择题 · 4 分

已知当

x \to 0

时，函数

f (x) = 3 sin x - sin 3 x

与

c x^{k}

是等价无穷小量，则（　　）

提示 1

两个正弦相减，直接洛必达会很繁琐，改用麦克劳林展开更快。

提示 2

sin x

、

sin 3 x

都要展开到

x^{3}

项（一次项会相消）。

提示 3

注意

sin 3 x

的三次项是

- \frac{( 3 x ) ^{3}}{6} = - \frac{27}{6} x^{3}

，不要漏掉里面的

3^{3}

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

看到「两个同类无穷小相减、求其等价无穷小」，一次项往往相消，真正决定阶数的是更高次项，此时泰勒展开是最稳的工具。本题的陷阱在于

sin 3 x

里

3 x

的立方要放大

27

倍，正是这一项让

x^{3}

的系数变成

4

（而非

- 4

），从而

k = 3, c = 4

。若误用

sin 3 x \approx 3 x

只保留一次项，就会得到

0

，说明必须展到三次。

解答

本题考查等价无穷小与泰勒（麦克劳林）展开。 要确定

f (x)

的阶数与系数，把

sin x

、

sin 3 x

展开到

x^{3}

即可。

由麦克劳林公式

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + o (x^{3})

，

sin 3 x = 3 x - \frac{( 3 x ) ^{3}}{3 !} + o (x^{3}) = 3 x - \frac{27 x ^{3}}{6} + o (x^{3})

，于是

3 sin x - sin 3 x = (3 x - \frac{3 x ^{3}}{6}) - (3 x - \frac{27 x ^{3}}{6}) + o (x^{3}) = \frac{24 x ^{3}}{6} + o (x^{3}) = 4 x^{3} + o (x^{3}) .

故

f (x) \sim 4 x^{3}

，即

c = 4, k = 3

。应选 C。

2011 年考研数学（二） 第 1 题