2011 年考研数学（二） 第 9 题

$1^{\infty }$ 型的通法就是 $\lim u^v=e^{\lim v\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$。本题底数 $-1$ 后是 $\frac{2^x-1}{2}$，配上指数 $\frac{1}{x}$ 得 $\frac{1}{2}\cdot \frac{2^x-1}{x}\to \frac{1}{2}\ln 2$，指数回去就是 $\sqrt{2}$。抓住「$\frac{2^x-1}{x}\to \ln 2$」这个基本极限是关键。

本题考查 $1^{\infty }$ 型幂指函数极限，用「取对数 / 凑重要极限」处理。 当 $x\to 0$ 时底数 $\frac{1+2^x}{2}\to 1$，指数 $\frac{1}{x}\to \infty$，是 $1^{\infty }$ 型。

取对数求指数的极限：
$$\ln {\left(\frac{1+2^x}{2}\right)}^{1/x}=\frac{1}{x}\ln \left(1+\frac{2^x-1}{2}\right).$$
当 $x\to 0$ 时 $\frac{2^x-1}{2}\to 0$，用等价无穷小 $\ln (1+u)\sim u$：
$$\frac{1}{x}\cdot \frac{2^x-1}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2^x-1}{x}\to \frac{1}{2}\ln 2,$$
这里用到 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-1}{x}=\ln 2$。

故原极限 $=e^{\frac{1}{2}\ln 2}=2^{1/2}=\sqrt{2}$。