2011 年考研数学（二） 第 10 题

一阶线性方程的「必杀技」是乘积分因子把左边凑成一个乘积的导数。这里 $P=1$，积分因子 $e^x$ 恰好与右端的 $e^{-x}$ 抵消，把方程化成 $(e^{x}y{)}^{\prime }=\cos x$，一步积分即得 $e^{x}y=\sin x+C$。初值 $y(0)=0$ 让 $C=0$，答案干净利落地是 $e^{-x}\sin x$。

本题考查一阶线性微分方程 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ 的通解公式。 这里 $P(x)=1,Q(x)=e^{-x}\cos x$。

由通解公式 $y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right)$，取积分因子 $e^{\int 1dx}=e^x$：
$$y=e^{-x}\left(\int e^{-x}\cos x\cdot e^{x}dx+C\right)=e^{-x}\left(\int \cos xdx+C\right)=e^{-x}(\sin x+C).$$

代入初始条件 $y(0)=0$：$e^0(\sin 0+C)=C=0$，故 $C=0$。所以满足条件的特解为 $y=e^{-x}\sin x$。