2011 年考研数学（二） 第 11 题

看到「$y$ 由变限积分给出、求弧长」，第一步一定是用微积分基本定理把 $y^{\prime }$ 拿出来（这里 $y^{\prime }=\tan x$）。弧长公式里的 $\sqrt{1+{\tan }^{2}x}$ 恰好化为 $\sec x$，是这题设计得漂亮的地方；再套 $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|$ 这个标准积分，$x=\pi /4$ 处 $\sec +\tan =\sqrt{2}+1$，答案就是 $\ln (1+\sqrt{2})$。

本题考查变限积分求导与平面曲线弧长公式。 弧长 $s={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$。

由变限积分求导得 $y^{\prime }=\tan x$，于是弧微分
$$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx=\sqrt{1+{\tan }^{2}x}dx=\sec xdx\left(0\le x\le \frac{\pi }{4},\sec x>0\right).$$

故
$$s={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|{|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\ln (\sqrt{2}+1)-\ln (1+0)=\ln (1+\sqrt{2}).$$