2011 年考研数学（二） 第 12 题

这其实是指数分布的「期望」积分。先用分段定义把下限收缩到 $0$，再看 ${\int }_0^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx$：要么分部积分（$u=x$ 降幂），要么换元 $t=\lambda x$ 化成 $\frac{1}{\lambda }\Gamma (2)$。$\Gamma (2)=1!=1$，结果 $\frac{1}{\lambda }$。用 $\Gamma$ 函数思路能显著减少出错。

本题考查无限区间反常积分的计算。 因 $x\le 0$ 时 $f(x)=0$，积分只在 $(0,+\infty )$ 上进行。

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\int }_0^{+\infty }x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx.$$
用分部积分（或作代换 $t=\lambda x$）。分部积分：取 $u=x,dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$，则 $v=-e^{-\lambda x}$，
$${\int }_0^{+\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx=[-x{e}^{-\lambda x}{]}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\lambda x}dx=0+{\left[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}\right]}_0^{+\infty }=\frac{1}{\lambda }.$$

（也可令 $t=\lambda x$：${\int }_0^{+\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }{\int }_0^{+\infty }t{e}^{-t}dt=\frac{1}{\lambda }\Gamma (2)=\frac{1}{\lambda }$。）故结果为 $\frac{1}{\lambda }$。