2011 年考研数学（二） 第 13 题

「边界含 $x^2+y^2$」是用极坐标的强信号。把偏心圆 $x^2+y^2=2y$ 写成 $r=2\sin \theta$ 后，$D$ 是夹在两条射线 $\theta =\pi /4,\pi /2$ 之间、外边界为 $r=2\sin \theta$ 的扇形区域。对 $r$ 先积得 $\frac{(2\sin \theta {)}^4}{4}$，与 $\sin \theta \cos \theta$ 合成 ${\sin }^5\theta \cos \theta$，正好可凑微分 $d(\sin \theta )$，末端 $\theta =\pi /4$ 处 ${\sin }^6=1/8$，得 $\frac{7}{12}$。

本题考查二重积分的计算（极坐标）。 边界曲线含 $x^2+y^2$，宜用极坐标。圆 $x^2+y^2=2y$ 即 $x^2+(y-1{)}^2=1$，极坐标下为 $r=2\sin \theta$。

令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$。区域 $D$ 由 $y=x$（即 $\theta =\frac{\pi }{4}$）、$y$ 轴（即 $\theta =\frac{\pi }{2}$）与圆 $r=2\sin \theta$ 围成，故
$$D=\left\{(r,\theta )|\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 2\sin \theta \right\}.$$

于是
$${\iint }_{D}xyd\sigma ={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \cos \theta d\theta {\int }_0^{2\sin \theta }{r}^{3}dr={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \cos \theta \cdot \frac{(2\sin \theta {)}^4}{4}d\theta =4{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^5\theta \cos \theta d\theta .$$

$$=4\cdot \frac{{\sin }^6\theta }{6}{|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{2}{3}\left[1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^6\right]=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{8}=\frac{7}{12}.$$