2011 年考研数学（二） 第 14 题

求正惯性指数最直接的路子是「配对称矩阵→求特征值→数正根」。注意矩阵第 $1,3$ 行相同（都为 $(1,1,1)$），一眼可知有零特征值 $\lambda =0$（矩阵奇异）；剩下两个特征值 $1,4$ 都为正。于是正惯性指数 $=2$。抓住「行相同 ⇒ 有零特征值」能省去展开时的验算。

本题考查二次型的正惯性指数（等于其矩阵正特征值的个数）。 先写出对称矩阵再求特征值。

二次型矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$（对角为平方项系数，非对角为交叉项系数的一半）。

特征多项式
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -1& -1\\ -1& \lambda -3& -1\\ -1& -1& \lambda -1\end{array}\right|=\lambda (\lambda -1)(\lambda -4)=0,$$
得特征值 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=4$。

正特征值有 $2$ 个（$1$ 和 $4$），故正惯性指数为 $2$。