2011 年考研数学（二） 第 15 题

「两端极限都为 $0$」自然把 $\alpha$ 从两侧夹出一个区间。$x\to 0^{+}$ 端由「小量的阶」控制：分子约是 $x^3$ 阶（${\int }_0^x{t}^2$），要被 $x^{\alpha }$ 压成 $0$，需 $\alpha <3$；$x\to +\infty$ 端由「大量的阶」控制：分子约是对数量级 $x\ln x$，要被 $x^{\alpha }$ 压成 $0$，需 $\alpha >1$（幂函数阶高于对数）。一端定上界、一端定下界，交出 $1<\alpha <3$。

本题考查无穷小与无穷大的阶的比较，用洛必达法则和变限积分求导分别处理两端极限。 记分子 $G(x)={\int }_0^x\ln (1+t^2)dt$，则 $G^{\prime }(x)=\ln (1+x^2)$。

先看 $x\to 0^{+}$。 此时 $G(x)\to 0$，若 $\alpha >0$ 则分母 $x^{\alpha }\to 0$，为 $\frac{0}{0}$ 型，用洛必达：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{G(x)}{x^{\alpha }}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+x^2)}{\alpha x^{\alpha -1}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{\alpha x^{\alpha -1}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^{3-\alpha }}{\alpha },$$
其中用了 $\ln (1+x^2)\sim x^2$。此极限为 $0$ 当且仅当 $3-\alpha >0$，即 $\alpha <3$。（若 $\alpha \le 0$，则 $x\to +\infty$ 时分母不趋于无穷，下面会看到端点极限无法为 $0$，故必有 $\alpha >0$。）

再看 $x\to +\infty$。 分子 $G(x)\to +\infty$，若分母 $x^{\alpha }\to +\infty$（需 $\alpha >0$），为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，用洛必达：
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{G(x)}{x^{\alpha }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1+x^2)}{\alpha x^{\alpha -1}}=0.$$
因为当 $\alpha -1>0$ 即 $\alpha >1$ 时，幂函数 $x^{\alpha -1}$ 的阶高于对数 $\ln (1+x^2)$，商趋于 $0$；若 $\alpha \le 1$，该极限不为 $0$（$\alpha =1$ 时为 $+\infty$）。故需 $\alpha >1$。

两个条件合并：$1<\alpha <3$。