2011 年考研数学（二） 第 16 题

参数方程题的通用套路：$\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$，二阶导再对 $t$ 求导后除以 $x_t^{\prime }$。这里有个关键观察——$x_t^{\prime }=t^2+1>0$ 恒正，于是「$t$ 增 ⇔ $x$ 增」，可以把对 $t$ 的符号讨论无损地搬到对 $x$。一阶导零点 $t=\pm 1$ 定极值（配二阶导符号判别大小），二阶导零点 $t=0$（对应 $x=1/3$）定拐点。分别代回参数式算出对应的 $(x,y)$ 即可。

本题考查由参数方程确定的函数求一阶、二阶导数，进而讨论极值与凹凸性。 注意 $\frac{dx}{dt}=t^2+1>0$ 恒成立，故 $x$ 随 $t$ 严格增，参数 $t$ 与 $x$ 的大小方向一致。

一阶导与极值。 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{t^2-1}{t^2+1}$。令 $\frac{dy}{dx}=0$ 得 $t=\pm 1$。
二阶导 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)/\frac{dx}{dt}=\frac{4t}{(t^2+1{)}^3}$。

当 $t=-1$：$x=-1,y=1$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=-1}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}<0$，故 $x=-1$ 处取极大值 $y=1$；
当 $t=1$：$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=1}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}>0$，故 $x=\frac{5}{3}$ 处取极小值 $y=-\frac{1}{3}$。

凹凸与拐点。 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{4t}{(t^2+1{)}^3}$ 的符号与 $t$ 同号。令 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0$ 得 $t=0$，此时 $x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$。
因 $x$ 随 $t$ 增，$t<0\iff x<\frac{1}{3}$，$t>0\iff x>\frac{1}{3}$。
当 $t<0$（即 $x<\frac{1}{3}$）时 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}<0$，曲线为凸（上凸），凸区间 $\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)$；
当 $t>0$（即 $x>\frac{1}{3}$）时 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}>0$，曲线为凹（下凸），凹区间 $\left(\frac{1}{3},+\infty \right)$。
二阶导在 $x=\frac{1}{3}$ 处变号，故 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ 为拐点。