2011 年考研数学（二） 第 17 题

抽象复合函数的二阶偏导，最容易漏的是「一阶导 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 本身还是复合函数，求第二次导时要再套链式法则」。本题的巧妙之处是隐藏条件 $g^{\prime }(1)=0$（极值点导数为零）：它把所有带 $g^{\prime }(x)$ 的项一次清零，只剩下 $f_1^{\prime }$ 与来自 $y{f}_1^{\prime }$ 对 $y$ 求导产生的 $y(x{f}_{11}^{\prime \prime }+g(x)f_{12}^{\prime \prime })$。再代入 $x=y=1,g(1)=1$，答案就收缩成三项之和。

本题考查多元复合函数（含抽象函数）的二阶偏导数。 记两个中间变量 $u=xy,v=yg(x)$，$f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 表示 $f$ 对第一、第二变量的偏导。由「$g(x)$ 在 $x=1$ 取极值且可导」知 $g^{\prime }(1)=0$，这是化简的关键。

先求一阶偏导（对 $x$）：$u_x=y,v_x=y{g}^{\prime }(x)$，故
$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }\cdot y+f_2^{\prime }\cdot y{g}^{\prime }(x)=y{f}_1^{\prime }+y{g}^{\prime }(x)f_2^{\prime }.$$

再对 $y$ 求偏导（注意 $u=xy,v=yg(x)$ 都含 $y$，$u_y=x,v_y=g(x)$）：
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_1^{\prime }+y(f_{11}^{\prime \prime }\cdot x+f_{12}^{\prime \prime }\cdot g(x))+g^{\prime }(x)f_2^{\prime }+y{g}^{\prime }(x)(f_{21}^{\prime \prime }\cdot x+f_{22}^{\prime \prime }\cdot g(x)).$$

代入 $x=1,y=1,g(1)=1,g^{\prime }(1)=0$：含 $g^{\prime }(x)$ 的两项全部为 $0$，且此时中间变量 $u=xy=1,v=yg(x)=1$，得
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}=f_1^{\prime }(1,1)+(f_{11}^{\prime \prime }(1,1)\cdot 1+f_{12}^{\prime \prime }(1,1)\cdot 1)=f_1^{\prime }(1,1)+f_{11}^{\prime \prime }(1,1)+f_{12}^{\prime \prime }(1,1).$$