2011 年考研数学（二） 第 18 题

题眼是把几何语言翻译成方程：切线倾角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha =y^{\prime }$，对它求导引出 ${\sec }^2\alpha =1+(y^{\prime }{)}^2$，配合条件 ${\alpha }^{\prime }=y^{\prime }$ 就得到自治的二阶方程 $y^{\prime \prime }=y^{\prime }+(y^{\prime }{)}^3$。它「不显含 $x$」，标准降阶法是令 $p=y^{\prime }$ 并用 $y^{\prime \prime }=pdp/dy$，一路两次分离变量。相切条件提供的 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$ 恰好把两个积分常数都定死，得到显式的 $\arcsin$ 形式解。

本题由几何条件建立可降阶的二阶微分方程再求解。 由「$l$ 与 $y=x$ 相切于原点」得初值 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$。由导数几何意义 $\tan \alpha =\frac{dy}{dx}=y^{\prime }$。

对 $\tan \alpha =y^{\prime }$ 两边关于 $x$ 求导：${\sec }^2\alpha \cdot \frac{d\alpha }{dx}=y^{\prime \prime }$。又已知 $\frac{d\alpha }{dx}=\frac{dy}{dx}=y^{\prime }$，且 ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha =1+(y^{\prime }{)}^2$，于是
$$y^{\prime \prime }=(1+(y^{\prime }{)}^2)y^{\prime }=y^{\prime }+(y^{\prime }{)}^3.$$

这是缺 $y$（也缺自变量显式）的可降阶方程。令 $p=y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$，用 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=p\frac{dp}{dy}$，方程化为 $p\frac{dp}{dy}=p+p^3=p(1+p^2)$。因 $p\ne 0$（$p(0)=1$），约去 $p$ 得 $\frac{dp}{dy}=1+p^2$，即 $\frac{dp}{1+p^2}=dy$。

积分得 $\arctan p=y+C_1$。由 $y(0)=0,p(0)=y^{\prime }(0)=1$，$\arctan 1=\frac{\pi }{4}=0+C_1$，故 $C_1=\frac{\pi }{4}$。于是 $y^{\prime }=\tan \left(y+\frac{\pi }{4}\right)$。

分离变量：$\frac{dy}{\tan \left(y+\frac{\pi }{4}\right)}=dx$，即 $\cot \left(y+\frac{\pi }{4}\right)dy=dx$，积分得 $\ln \left|\sin \left(y+\frac{\pi }{4}\right)\right|=x+\ln C_2$，即 $\sin \left(y+\frac{\pi }{4}\right)=C_2{e}^x$。由 $y(0)=0$ 得 $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=C_2$。

故 $\sin \left(y+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^x$，解得
$$y=\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^x\right)-\frac{\pi }{4}.$$