2011 年考研数学（二） 第 19 题

这是经典的「欧拉常数」收敛题，两问环环相扣。（Ⅰ）是把不等式 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ 特殊化到 $x=1/n$——记住这条双边估计对整个高数都极有用。（Ⅱ）证数列收敛的首选武器是单调有界准则：单调性直接由（Ⅰ）右式给出（相邻差为负）；有界性用（Ⅰ）左式把调和和 $\sum 1/k$ 放缩成 $\sum \ln \frac{k+1}{k}$，裂项望远镜求和恰好抵掉 $\ln n$，露出正的下界。

本题（Ⅰ）用单调性（或拉格朗日中值定理）证不等式，（Ⅱ）用单调有界准则证数列收敛。

（Ⅰ）方法一（单调性）。 令 $f(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$，则 $f(0)=0$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2}>0(x>0)$，故 $x>0$ 时 $f(x)>0$，即 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)$。
再令 $g(x)=x-\ln (1+x)$，$g(0)=0$，$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0(x>0)$，故 $x>0$ 时 $g(x)>0$，即 $\ln (1+x)<x$。
合起来：$x>0$ 时 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$。取 $x=\frac{1}{n}$，则 $\frac{1/n}{1+1/n}=\frac{1}{n+1}$，得
$$\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}.$$

（Ⅰ）方法二（拉格朗日中值定理）。 令 $f(t)=\ln (1+t)$，在 $\left[0,\frac{1}{n}\right]$ 上用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in \left(0,\frac{1}{n}\right)$ 使 $f\left(\frac{1}{n}\right)-f(0)=\frac{f^{\prime }(\xi )}{n}$，即 $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n(1+\xi )}$。由 $0<\xi <\frac{1}{n}$ 得 $\frac{1}{1+\frac{1}{n}}<\frac{1}{1+\xi }<1$，即 $\frac{n}{n+1}<\frac{1}{1+\xi }<1$，故 $\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}$。

（Ⅱ）单调性。 由（Ⅰ），
$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-(\ln (n+1)-\ln n)=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<0,$$
故 $\{a_n\}$ 单调减少。

（Ⅱ）有下界。 由（Ⅰ）的左半不等式 $\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)<\frac{1}{k}$，即 $\frac{1}{k}>\ln \frac{k+1}{k}$，于是
$$a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n>\sum _{k=1}^n\ln \frac{k+1}{k}-\ln n=\ln (n+1)-\ln n=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)>0.$$
故 $\{a_n\}$ 有下界 $0$。由单调有界准则，$\{a_n\}$ 收敛。