2011 年考研数学（二） 第 20 题

关键是把容器沿 $y$ 方向切成水平圆盘：横截面半径 $x$ 由所在高度落在上圆弧还是下圆弧决定，于是把 $[-1,2]$ 拆成 $[-1,\frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2},2]$ 两段。（Ⅰ）体积就是 $\pi \int x^{2}dy$。（Ⅱ）做功的元素法要点在「提升高度 $=2-y$」（抽到顶部 $y=2$）：每层水的重量 $\rho g\pi x^{2}dy$ 乘以它还要上升的距离 $(2-y)$，积分即得总功。代入 $\rho =10^3$ 得 $\frac{27\times 10^3}{8}\pi g$ 焦耳。

本题考查旋转体体积与变力做功（定积分物理应用，元素法）。 用垂直于 $y$ 轴的圆盘为微元。旋转横截面在高度 $y$ 处的半径平方 $x^2$ 分两段：上段 $y\in \left[\frac{1}{2},2\right]$ 时由 $x^2+y^2=2y$ 得 $x^2=2y-y^2$；下段 $y\in \left[-1,\frac{1}{2}\right]$ 时由 $x^2+y^2=1$ 得 $x^2=1-y^2$。

（Ⅰ）容积。 用圆盘法绕 $y$ 轴：
$$V=\pi {\int }_{-1}^2{x}^{2}dy=\pi \left[{\int }_{-1}^{1/2}(1-y^2)dy+{\int }_{1/2}^2(2y-y^2)dy\right].$$
分别算：${\int }_{-1}^{1/2}(1-y^2)dy=\frac{9}{8}$，${\int }_{1/2}^2(2y-y^2)dy=\frac{9}{8}$，故 $V=\pi \left(\frac{9}{8}+\frac{9}{8}\right)=\frac{9\pi }{4}$。

（Ⅱ）做功。 记水的密度 $\rho =10^3{\text{kg/m}}^3$。在高度 $y$ 处取厚 $dy$ 的水层，其体积 $dV=\pi x^{2}dy$，质量 $\rho dV$，需提升到顶部 $y=2$，提升高度为 $(2-y)$，故功微元 $dW=\rho g\pi x^2(2-y)dy$。

分两段积分：
$$W=\pi \rho g\left[{\int }_{-1}^{1/2}(1-y^2)(2-y)dy+{\int }_{1/2}^2(2y-y^2)(2-y)dy\right].$$
计算两段之和为 $\frac{27}{8}$，故
$$W=\frac{27}{8}\pi \rho g=\frac{27}{8}\pi \cdot 10^3\cdot g=\frac{27\times 10^3}{8}\pi g\text{（J）}.$$