2011 年考研数学（二） 第 21 题

看到 $\iint xy{f}_{xy}^{\prime \prime }$ 且给了 $f$ 在两条边界为零、以及 $\iint f=a$，几乎注定要用「两次分部积分把二阶混合导逐步剥回 $f$ 本身」。每次分部都会甩出一个边界项，而条件 $f(1,y)=0$、$f(x,1)=0$（后者对 $x$ 求导得 $f_x^{\prime }(x,1)=0$）正好把这些边界项一一清零。剥完两层，$xy{f}_{xy}^{\prime \prime }$ 的积分就等于 $f$ 的积分 $a$。这类抽象函数二重积分题，边界条件就是为了消边界项而生的。

本题考查二重积分化累次积分、交换积分次序，以及抽象函数的分部积分。 反复用「$xy{f}_{xy}^{\prime \prime }$ 中把一个变量的导数用分部积分转移，再用边界条件 $f(1,y)=f(x,1)=0$」。

先对 $y$ 化累次积分并对 $y$ 分部（把 $f_{xy}^{\prime \prime }={\partial }_y{f}_x^{\prime }$ 提出）：
$$I={\int }_0^{1}xdx{\int }_0^{1}yd[f_x^{\prime }(x,y)]={\int }_0^{1}xdx\left[y{f}_x^{\prime }(x,y){|}_0^1-{\int }_0^1{f}_x^{\prime }(x,y)dy\right]={\int }_0^{1}x{f}_x^{\prime }(x,1)dx-{\int }_0^{1}xdx{\int }_0^1{f}_x^{\prime }(x,y)dy.$$

第一项：由 $f(x,1)=0$（关于 $x$ 恒为 $0$），其对 $x$ 的导数 $f_x^{\prime }(x,1)=0$，故 ${\int }_0^{1}x{f}_x^{\prime }(x,1)dx={\int }_0^{1}xd[f(x,1)]=0$。于是
$$I=-{\int }_0^{1}xdx{\int }_0^1{f}_x^{\prime }(x,y)dy=-{\int }_0^{1}dy{\int }_0^{1}x{f}_x^{\prime }(x,y)dx.$$

对内层再关于 $x$ 分部（$f_x^{\prime }={\partial }_{x}f$）：
$${\int }_0^{1}x{f}_x^{\prime }(x,y)dx=xf(x,y){|}_0^1-{\int }_0^{1}f(x,y)dx=f(1,y)-{\int }_0^{1}f(x,y)dx=-{\int }_0^{1}f(x,y)dx,$$
这里用了 $f(1,y)=0$。代回：
$$I=-{\int }_0^{1}dy\left(-{\int }_0^{1}f(x,y)dx\right)={\int }_0^{1}dy{\int }_0^{1}f(x,y)dx={\iint }_{D}f(x,y)dxdy=a.$$