2011 年考研数学（二） 第 22 题

第一问的钥匙是一条秩的性质：若向量组 $A$ 可由 $B$ 表示但 $B$ 不能由 $A$ 表示，则 $r(A)<r(B)$。这里 $\alpha$ 组满秩（是基），$\beta$ 组却表示不了 $\alpha$，逼出 $\beta$ 组降秩，即其行列式为 $0$，解得 $a=5$。第二问是「求坐标」的标准操作：把 $\alpha$ 组作系数矩阵、$\beta$ 组作右端，同步行化简到 $\alpha$ 侧成单位阵，右侧读出的就是各 $\beta$ 的表示系数。

本题考查向量组线性表示与线性相关性，用行列式和秩判断。

（Ⅰ） 先看 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$：$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 1& 1& 5\end{array}\right|=1\ne 0$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基，于是 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 一定能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示。
而题设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 不能由 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 表示，说明 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 的秩小于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的秩（$=3$），即 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 线性相关，$|{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3|=0$。
$$|{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 2& a-3\end{array}\right|=(a-3)-2=a-5=0,$$
故 $a=5$。

（Ⅱ） 取 $a=5$，对增广矩阵 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\mid {\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$ 作初等行变换：
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 1& 1& 3\\ 0& 1& 3& 1& 2& 4\\ 1& 1& 5& 1& 3& 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 2& 1& 5\\ 0& 1& 0& 4& 2& 10\\ 0& 0& 1& -1& 0& -2\end{array}\right).$$

右半各列即为 ${\beta }_j$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的坐标，故
$${\beta }_1=2{\alpha }_1+4{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\beta }_2={\alpha }_1+2{\alpha }_2+0\cdot {\alpha }_3,{\beta }_3=5{\alpha }_1+10{\alpha }_2-2{\alpha }_3.$$