2011 年考研数学（二） 第 23 题

很多人被矩阵等式吓住，其实它就是把两个 $A\xi =\lambda \xi$ 打包成一个式子——按列拆开立刻看出 $(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$ 属于 $\lambda =-1$、$(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$ 属于 $\lambda =1$。第三个特征值由 $r(A)=2$ 送来 $\lambda =0$，而它的特征向量不必解方程，用「实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交」这一利器，与已知两向量作正交条件即得 $(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$。凑齐三对特征值/向量后，$A=P\Lambda P^{-1}$ 一步还原矩阵。

本题考查用特征值、特征向量的定义解读矩阵关系式，并用实对称矩阵不同特征值的特征向量正交来补全。 把矩阵等式按列拆开。

（Ⅰ） 由 $r(A)=2<3$ 知 $|A|=0$，故 ${\lambda }_1=0$ 是一个特征值。
矩阵等式的两列分别给出：$A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$，即 ${\lambda }_2=-1$，特征向量 ${\xi }_2=(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$；
$A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，即 ${\lambda }_3=1$，特征向量 ${\xi }_3=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

设 ${\lambda }_1=0$ 的特征向量 ${\xi }_1=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$。$A$ 为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量正交，故 ${\xi }_1\perp {\xi }_2,{\xi }_1\perp {\xi }_3$：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_3=0,\\ x_1+x_3=0,\end{array}\Rightarrow x_1=x_3=0,x_2\text{任意}.$$
取 ${\xi }_1=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$。
综上，$A$ 的特征值为 $0,-1,1$，对应的全部特征向量为 $k_1{\xi }_1,k_2{\xi }_2,k_3{\xi }_3$（$k_1,k_2,k_3$ 为任意非零常数）。

（Ⅱ） 令 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(0,-1,1)$，故
$$A=P\mathrm{diag}(0,-1,1)P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).$$
（可验证 $A$ 对称、秩为 $2$，且 $A{\xi }_2=-{\xi }_2,A{\xi }_3={\xi }_3,A{\xi }_1=0$，与已知相符。）