2009 年考研数学（二） 第 22 题

（Ⅰ）两个方程都是非齐次组 $Ax=b$，套「特解 + 基础解系」。（Ⅱ）线性无关证明有两条路：向量个数 = 维数时，算行列式是否为零最直接（这里恒为 $-\frac{1}{2}$）；更本质的是利用 $A{\xi }_1=0$ 的「降链」结构——对组合式反复左乘 $A$，$A$ 把 ${\xi }_3\to {\xi }_2\to {\xi }_1\to 0$ 逐级湮灭，于是系数从 $k_3$ 开始被迫为零。

本题考查非齐次线性方程组求解与向量组线性无关的证明。

（Ⅰ） 解 $A{\xi }_2={\xi }_1$：对增广矩阵作初等行变换 $(A\mid {\xi }_1)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -\frac{1}{2}& |& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& \frac{1}{2}& |& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right)$。取 $x_3=k_1$（自由），得
$${\xi }_2=k_1\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}{k}_1-\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}{k}_1+\frac{1}{2}\\ k_1\end{array}\right)(k_1\text{ 为任意常数}).$$

计算 $A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -2& -2& 0\\ 4& 4& 0\end{array}\right)$。解 $A^2{\xi }_3={\xi }_1$：对 $(A^2\mid {\xi }_1)$ 行变换 $\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& |& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& |& 0\\ 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right)$。取 $x_2=k_2,x_3=k_3$（自由），得
$${\xi }_3=k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_3\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-k_2-\frac{1}{2}\\ k_2\\ k_3\end{array}\right)(k_2,k_3\text{ 为任意常数}).$$

（Ⅱ）方法一（行列式）：
$$|{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3|=\left|\begin{array}{ccc}-1& \frac{1}{2}{k}_1-\frac{1}{2}& -k_2-\frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}{k}_1+\frac{1}{2}& k_2\\ -2& k_1& k_3\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\ne 0$$
（与 $k_1,k_2,k_3$ 无关）。$3$ 个 $3$ 维向量构成的行列式非零，故 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 线性无关。

方法二（定义）： 先注意 $A{\xi }_1=0$（可直接验证）。设 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+k_3{\xi }_3=0$……①。①左乘 $A$：由 $A{\xi }_1=0,A{\xi }_2={\xi }_1$ 得 $k_2{\xi }_1+k_{3}A{\xi }_3=0$……②。②再左乘 $A$：$k_3{A}^2{\xi }_3=k_3{\xi }_1=0$，由 ${\xi }_1\ne 0$ 得 $k_3=0$；代入②得 $k_2=0$；再代入①得 $k_1=0$。故 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 线性无关。