2009 年考研数学（二） 第 21 题

（Ⅰ）「辅助函数化归罗尔」是中值定理证明的通法：割线 $\phi$ 让两端等高，罗尔提供水平切点。（Ⅱ）是「导数极限定理」：单侧导数按定义是差商极限，用中值定理把差商换成某点导数 $f^{\prime }(\xi )$，再让 $\xi$ 被夹着趋于 $0$，导函数的极限 $A$ 就传递成了导数值。注意不能直接用洛必达（未知 $f^{\prime }$ 在 $0$ 连续），必须走中值定理。

本题考查微分中值定理的证明（辅助函数法）与导数极限定理。

（Ⅰ） 构造辅助函数 $\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。则 $\phi$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $\phi (a)=\phi (b)=0$。

由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 ${\phi }^{\prime }(\xi )=0$。而 ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，故 $f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，即 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$。

（Ⅱ） 任取 $x\in (0,\delta )$。$f$ 在 $[0,x]$ 上连续、在 $(0,x)$ 内可导，由拉格朗日中值定理存在 $\xi \in (0,x)$ 使 $f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )x$，即 $\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(\xi )$。

当 $x\to 0^{+}$ 时，由 $0<\xi <x$ 知 $\xi \to 0^{+}$。故
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{\xi \to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=A.$$
即 $f_{+}^{\prime }(0)$ 存在且等于 $A$。