2009 年考研数学（二） 第 20 题

分段定义 + 光滑，是「几何条件列方程 + 衔接条件定常数」的综合题。左段把「法线过原点」化为可分离方程得同心圆；右段是标准二阶常系数非齐次。两段在 $x=0$ 用「光滑 $=C^1$ 连续」缝合：函数值定 $C_2=\pi$、导数值定 $C_3=1$。注意左段导数在 $0^{-}$ 的极限用有理化算得 $0$。

本题综合考查导数的几何意义（法线）与微分方程，分段函数在交界处的光滑衔接。 分两段列方程再缝合。

左段（$-\pi <x<0$）： 曲线上点 $(x,y)$ 处法线斜率为 $-\frac{1}{y^{\prime }}$，法线方程 $Y-y=-\frac{1}{y^{\prime }}(X-x)$。过原点 $(0,0)$：$-y=-\frac{1}{y^{\prime }}(-x)$，即 $y{y}^{\prime }=-x$，亦即 $x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y=0$，$\mathrm{d}\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)=0$，解得 $x^2+y^2=C_1$。

由过点 $\left(-\frac{\pi }{\sqrt{2}},\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)$ 得 $C_1=\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{{\pi }^2}{2}={\pi }^2$，即 $x^2+y^2={\pi }^2$。该段 $y>0$，取 $y=\sqrt{{\pi }^2-x^2}$。

右段（$0\le x<\pi$）： $y^{\prime \prime }+y+x=0$ 即 $y^{\prime \prime }+y=-x$，齐次解 $C_2\cos x+C_3\sin x$，特解 $y^{\ast }=-x$，故通解 $y=C_2\cos x+C_3\sin x-x$。

光滑衔接（$x=0$ 处连续且可导）： 连续 $\Rightarrow y(0^{-})=\sqrt{{\pi }^2}=\pi$ 与 $y(0^{+})=C_2$ 相等，得 $C_2=\pi$。可导 $\Rightarrow y_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{{\pi }^2-x^2}-\pi }{x}=0$，而 $y_{+}^{\prime }(0)=(-\pi \sin x+C_3\cos x-1){|}_{x=0}=C_3-1$，由 $y_{-}^{\prime }(0)=y_{+}^{\prime }(0)$ 得 $C_3=1$。

故
$$y(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{{\pi }^2-x^2},& -\pi <x<0,\\ \pi \cos x+\sin x-x,& 0\le x<\pi .\end{array}$$