2009 年考研数学（二） 第 19 题

边界带圆就上极坐标；圆心不在原点则用「平移极坐标」，以 $(1,1)$ 为极点，$r$ 上限恰是半径 $\sqrt{2}$、与 $\theta$ 无关，积分限最简。被积函数 $x-y$ 平移后变成 $r(\cos \theta -\sin \theta )$，$\theta$ 与 $r$ 完全分离，两个一维积分相乘即得 $-\frac{8}{3}$。半圆对应 $\theta \in [\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]$（直线 $y=x$ 的两个方向角）。

本题考查二重积分的极坐标计算（平移极坐标）。 区域是以 $(1,1)$ 为心、半径 $\sqrt{2}$ 的圆盘中 $y\ge x$ 的一半（半圆）。

作平移极坐标：令 $x-1=r\cos \theta ,y-1=r\sin \theta$，则 $x-y=(x-1)-(y-1)=r(\cos \theta -\sin \theta )$，且 $D=\left\{(r,\theta )|\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{5\pi }{4},0\le r\le \sqrt{2}\right\}$。

于是
$${\iint }_D(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{\pi /4}^{5\pi /4}{\int }_0^{\sqrt{2}}r(\cos \theta -\sin \theta )\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta ={\int }_{\pi /4}^{5\pi /4}(\cos \theta -\sin \theta )\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^2\mathrm{d}r.$$

分别计算：${\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^2\mathrm{d}r=\frac{(\sqrt{2}{)}^3}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$；${\int }_{\pi /4}^{5\pi /4}(\cos \theta -\sin \theta )\mathrm{d}\theta =(\sin \theta +\cos \theta ){|}_{\pi /4}^{5\pi /4}=(-\sqrt{2})-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$。

相乘：${\iint }_D(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot (-2\sqrt{2})=-\frac{8}{3}$。