2009 年考研数学（二） 第 18 题

综合题的骨架是「解方程 $\to$ 定常数 $\to$ 算几何量」。方程缺 $y$，用 $p=y^{\prime }$ 降阶；求出通解后靠「过原点」定 $C_2$、「面积 $=2$」定 $C_1$ 钉死函数。最后旋转体绕 $y$ 轴、被积函数已是 $x$ 的显式，柱壳法 $2\pi \int xy\mathrm{d}x$ 最省事，避免解反函数。

本题综合考查可降阶微分方程、定积分几何应用（面积、旋转体积）。 先解方程定出函数，再算几何量。

方程不含 $y$，令 $y^{\prime }=p$，则 $y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$，方程化为一阶线性 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}-\frac{1}{x}p=-\frac{2}{x}$。

解得 $p=y^{\prime }=\left(\int -\frac{2}{x}{\mathrm{e}}^{-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C_1\right){\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}=\left(\int -\frac{2}{x^2}\mathrm{d}x+C_1\right)x=C_{1}x+2$。

积分得 $y=2x+\frac{1}{2}{C}_1{x}^2+C_2$。由 $y(0)=0$ 得 $C_2=0$；由面积 ${\int }_0^1\left(2x+\frac{1}{2}{C}_1{x}^2\right)\mathrm{d}x=1+\frac{1}{6}{C}_1=2$ 得 $C_1=6$，故 $y=2x+3x^2$。

区域 $D$：$0\le x\le 1,0\le y\le 2x+3x^2$，绕 $y$ 轴旋转。用柱壳法：
$$V=2\pi {\int }_0^{1}x(2x+3x^2)\mathrm{d}x=2\pi {\int }_0^1(2x^2+3x^3)\mathrm{d}x=2\pi \left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)=2\pi \cdot \frac{17}{12}=\frac{17\pi }{6}.$$

（也可用大圆柱减去反函数 $x=\frac{1}{3}(\sqrt{3y+1}-1)(0\le y\le 5)$ 的旋转体：$V=\pi \cdot 1^2\cdot 5-\frac{\pi }{9}{\int }_0^5(\sqrt{3y+1}-1{)}^2\mathrm{d}y=5\pi -\frac{13\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$，结果一致。）