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2009 年考研数学（二）第 17 题

解答题 · 10 分

设

z = f (x + y, x - y, x y)

，其中

f

具有二阶连续偏导数，求

d z

与

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

提示 1

设中间变量

u = x + y, v = x - y, w = x y

，用链式法则写出

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

（

f_{i}^{'}

表示对第

i

个位置的偏导）。

提示 2

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y

；也可对

z

直接求微分

d z = f_{1}^{'} d (x + y) + f_{2}^{'} d (x - y) + f_{3}^{'} d (x y)

验证。

提示 3

求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

时，对

\frac{\partial z}{\partial x}

再关于

y

求导：每个

f_{i}^{'}

仍要继续用链式，

y \cdot f_{3}^{'}

用乘积法则会额外产生

f_{3}^{'}

项。

答案与详解

答案 $d z = (f_{1}^{'} + f_{2}^{'} + y f_{3}^{'}) d x + (f_{1}^{'} - f_{2}^{'} + x f_{3}^{'}) d y$ ； $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{11}^{''} + (x + y) f_{13}^{''} + (x - y) f_{23}^{''} - f_{22}^{''} + f_{3}^{'} + x y f_{33}^{''}$

思路（为什么这么做）

多层复合的核心是「位置编号 + 链式法则」：

f_{i}^{'}

依赖

(u, v, w)

，再对

x

或

y

求导时它自己也要展开成

f_{i 1} u_{∙} + f_{i 2} v_{∙} + f_{i 3} w_{∙}

。两个易错点：一是

y f_{3}^{'}

求

\partial / \partial y

时乘积法则漏掉

f_{3}^{'}

项；二是二阶连续保证

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

等可合并，交叉项

x f_{13}^{''} + y f_{31}^{''}

合成

(x + y) f_{13}^{''}

。

解答

本题考查多元复合函数的一阶、二阶偏导（链式法则）与全微分。 记三个中间变量为

u = x + y, v = x - y, w = x y

，

f_{i}^{'}

表示

f

对第

i

个变量的偏导。

一阶偏导（链式法则）：

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} + y f_{3}^{'}, \frac{\partial z}{\partial y} = f_{1}^{'} - f_{2}^{'} + x f_{3}^{'} .

全微分：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y = (f_{1}^{'} + f_{2}^{'} + y f_{3}^{'}) d x + (f_{1}^{'} - f_{2}^{'} + x f_{3}^{'}) d y .

再对

\frac{\partial z}{\partial x}

关于

y

求偏导（

f_{i}^{'}

仍是

u, v, w

的复合函数，且

y f_{3}^{'}

用乘积法则）：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = (f_{11}^{''} - f_{12}^{''} + x f_{13}^{''}) + (f_{21}^{''} - f_{22}^{''} + x f_{23}^{''}) + f_{3}^{'} + y (f_{31}^{''} - f_{32}^{''} + x f_{33}^{''}) .

由二阶连续

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}, f_{13}^{''} = f_{31}^{''}, f_{23}^{''} = f_{32}^{''}

，合并同类项：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{11}^{''} + (x + y) f_{13}^{''} + (x - y) f_{23}^{''} - f_{22}^{''} + f_{3}^{'} + x y f_{33}^{''} .

考点：多元复合函数求导法则、全微分、偏导数

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