2009 年考研数学（二）第 16 题

解答题 · 10 分

计算不定积分

\int ln (1 + \frac{1 + x}{x}) d x (x > 0)

。

提示 1

含无理式

(1 + x) / x

，作第二类换元

t = (1 + x) / x

，把

x

用

t

表示（

x = 1/ (t^{2} - 1)

）。

提示 2

换元后用分部积分

\int ln (1 + t) d (\frac{1}{t ^{2} - 1})

，把对数求导、有理式积分分开。

提示 3

余下

\int \frac{d t}{( t ^{2} - 1 ) ( t + 1 )}

用部分分式（注意

(t + 1)^{2}

重因式），积分后回代并化简。

答案与详解

答案 $x ln (1 + \frac{1 + x}{x}) + \frac{1}{2} ln (1 + x + x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} x + x^{2} + C$

思路（为什么这么做）

被积函数是「对数套无理式」，两招配合：先换元

t = (1 + x) / x

去根号，再分部积分把

ln

求导掉。分部产生的有理积分含重因式

(t + 1)^{2}

，须按

\frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{( t + 1 ) ^{2}}

分解。最后回代时把

\frac{t + 1}{t - 1}

有理化成

(1 + x + x)^{2}

是化简的关键一步。

解答

本题考查第二类换元法与分部积分（含有理函数部分分式）。 被积函数是「对数套无理式」，先换元去根号。

令

t = \frac{1 + x}{x}

，则

t^{2} = 1 + \frac{1}{x}

，

x = \frac{1}{t ^{2} - 1}

。分部积分：

\int ln (1 + \frac{1 + x}{x}) d x = \int ln (1 + t) d (\frac{1}{t ^{2} - 1}) = \frac{ln ( 1 + t )}{t ^{2} - 1} - \int \frac{1}{( t ^{2} - 1 ) ( t + 1 )} d t .

部分分式：

\frac{1}{( t ^{2} - 1 ) ( t + 1 )} = \frac{1}{( t + 1 ) ^{2} ( t - 1 )} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{( t + 1 ) ^{2}}

，解得

A = \frac{1}{4}, B = - \frac{1}{4}, C = - \frac{1}{2}

。

积分：

\int \frac{d t}{( t ^{2} - 1 ) ( t + 1 )} = \frac{1}{4} ln (t - 1) - \frac{1}{4} ln (t + 1) + \frac{1}{2 ( t + 1 )} + C

。

故

\int ln (1 + \frac{1 + x}{x}) d x = \frac{ln ( 1 + t )}{t ^{2} - 1} + \frac{1}{4} ln \frac{t + 1}{t - 1} - \frac{1}{2 ( t + 1 )} + C

。

回代

t = \frac{1 + x}{x}

（利用

\frac{1}{t ^{2} - 1} = x

、

\frac{t + 1}{t - 1} = (1 + x + x)^{2}

、

\frac{1}{t + 1} = x + x^{2} - x

）：

= x ln (1 + \frac{1 + x}{x}) + \frac{1}{2} ln (1 + x + x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} x + x^{2} + C .

2009 年考研数学（二） 第 16 题