2009 年考研数学（二） 第 15 题

复杂极限先「降维」——分母 ${\sin }^{4}x$ 与因子 $1-\cos x$ 用等价无穷小换掉，剩下核心 $\frac{x-\ln (1+\tan x)}{x^2}$。分子拆项是关键技巧：$x-\tan x$ 太高阶（$x^3$）贡献为 $0$，真正主部来自 $\tan x-\ln (1+\tan x)\sim \frac{{\tan }^{2}x}{2}\sim \frac{x^2}{2}$。最终 $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。

本题考查极限计算（等价无穷小替换与分子拆项）。 先用等价无穷小降低复杂度。

${\sin }^{4}x\sim x^4$，$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，故
$$\text{原式}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}[x-\ln (1+\tan x)]}{x^4}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\ln (1+\tan x)}{x^2}.$$

把分子拆成两块：$x-\ln (1+\tan x)=(x-\tan x)+[\tan x-\ln (1+\tan x)]$。

第一块：由 $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$x-\tan x=-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\tan x}{x^2}=0$。

第二块：令 $t=\tan x(\sim x)$，用 $t-\ln (1+t)\sim \frac{t^2}{2}$，得 $\tan x-\ln (1+\tan x)\sim \frac{{\tan }^{2}x}{2}\sim \frac{x^2}{2}$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\ln (1+\tan x)}{x^2}=\frac{1}{2}$。

合并：$\text{原式}=\frac{1}{2}\left(0+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$。