2009 年考研数学（二） 第 14 题

秩 $1$ 矩阵 $\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$ 与「数」${\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$ 之间有恒等关系 $\mathrm{tr}(\alpha {\beta }^{\mathrm{T}})={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$。相似保持迹，对角阵的迹 $=2$，于是 ${\beta }^{\mathrm{T}}\alpha =2$ 一步到位。记住 ${\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$（内积，标量）等于 $\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$ 的迹这一常用桥梁。

本题考查相似矩阵的迹不变量与秩 $1$ 矩阵的迹。 相似矩阵有相同的特征值与迹。

由 $\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$ 相似于 $\mathrm{diag}(2,0,0)$，知其特征值为 $2,0,0$，故 $\mathrm{tr}(\alpha {\beta }^{\mathrm{T}})=2+0+0=2$。

设 $\alpha =(a_1,a_2,a_3{)}^{\mathrm{T}},\beta =(b_1,b_2,b_3{)}^{\mathrm{T}}$，则 $\mathrm{tr}(\alpha {\beta }^{\mathrm{T}})=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$。

故 ${\beta }^{\mathrm{T}}\alpha =\mathrm{tr}(\alpha {\beta }^{\mathrm{T}})=2$。