2009 年考研数学（二） 第 13 题

幂指函数 $x^{2x}$ 的标准处理是取指数 ${\mathrm{e}}^{2x\ln x}$，把求导交给指数上的 $2x\ln x$。驻点由 $2\ln x+2=0$ 得 $x=1/\mathrm{e}$，且 $2x\ln x$ 在此取最小，故 $y$ 也最小。端点 $x=1$ 处 $y=1$ 更大，所以最小值就在 $x=1/\mathrm{e}$，值为 ${\mathrm{e}}^{-2/\mathrm{e}}$。

本题考查幂指函数求最值。 先化为指数形式便于求导。

$y=x^{2x}={\mathrm{e}}^{2x\ln x}$，故 $y^{\prime }={\mathrm{e}}^{2x\ln x}(2\ln x+2)$。令 $y^{\prime }=0\Rightarrow 2\ln x+2=0\Rightarrow x=\frac{1}{\mathrm{e}}$。

当 $x\in \left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 时 $y^{\prime }<0$（递减）；当 $x\in \left(\frac{1}{\mathrm{e}},1\right]$ 时 $y^{\prime }>0$（递增）。故 $x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 为最小值点。

最小值 $y\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)={\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)}^{2/\mathrm{e}}={\mathrm{e}}^{-2/\mathrm{e}}$。