2009 年考研数学（二） 第 12 题

隐函数求高阶导就是「对方程反复整体求导再代点」。关键别忘乘积项与链式：$x{y}^{\prime }$ 的导数、${\mathrm{e}}^y$ 的导数都要用乘积/复合法则。先拿到 $y(0)\text{、}{y}^{\prime }(0)$ 作为「燃料」，第二次求导后一次代入即可解出 $y^{\prime \prime }(0)=-3$。

本题考查隐函数的高阶导数。 对方程反复整体求导再代点。

当 $x=0$ 时，方程为 ${\mathrm{e}}^y=1$，得 $y=0$。

两边对 $x$ 求导：$y+x{y}^{\prime }+{\mathrm{e}}^y{y}^{\prime }=1$。代入 $x=0,y=0$：$0+0+1\cdot y^{\prime }=1\Rightarrow y^{\prime }(0)=1$。

再对 $x$ 求导：$2y^{\prime }+x{y}^{\prime \prime }+{\mathrm{e}}^y(y^{\prime }{)}^2+{\mathrm{e}}^y{y}^{\prime \prime }=0$。代入 $x=0,y=0,y^{\prime }=1$：$2\cdot 1+0+1\cdot 1+1\cdot y^{\prime \prime }=0\Rightarrow y^{\prime \prime }(0)=-3$。