2009 年考研数学（二） 第 11 题

被积函数里 $\sin nx$ 随 $n$ 增大而快速振荡（黎曼–勒贝格现象），积分正负相消趋于 $0$。技术上用分部积分「生出一个 $1/n$」，剩余积分再放缩到有界，于是整体被 $\frac{3}{n}$ 夹逼到 $0$。凡「$\lim$ 高频振荡积分」，先想分部积分挤出 $1/n$。

本题考查定积分的分部积分与夹逼定理（振荡积分的极限）。 先分部积分挤出因子 $\frac{1}{n}$。

分部积分：
$${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\sin nx\mathrm{d}x=-\frac{1}{n}{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}(\cos nx)=-\frac{\cos n}{n}{\mathrm{e}}^{-1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n}{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\cos nx\mathrm{d}x.$$

取绝对值放大（利用 $|\cos |\le 1,{\mathrm{e}}^{-x}\le 1$）：
$$0\le \left|{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\sin nx\mathrm{d}x\right|\le \frac{2}{n}+\frac{1}{n}{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x\le \frac{2}{n}+\frac{1}{n}{\int }_0^{1}1\mathrm{d}x=\frac{3}{n}.$$

由 $0\le |\cdot |\le \frac{3}{n}\to 0$，据夹逼定理，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\sin nx\mathrm{d}x=0$。