2009 年考研数学（二） 第 10 题

含参反常积分定参数：先用收敛性锁定 $k$ 的符号（$k<0$），再借偶函数对称把区间折半，算出 $-\frac{2}{k}=1$。注意「先判收敛再用奇偶性」的顺序——若 $k\ge 0$ 积分根本发散，对称性无从谈起。

本题考查含参反常积分与奇偶性。 先由收敛性确定 $k$ 的符号。

反常积分收敛要求 $k<0$（否则 ${\mathrm{e}}^{k|x|}$ 不趋于 $0$，积分发散）。被积函数为偶函数，故
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{k|x|}\mathrm{d}x=2{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{kx}\mathrm{d}x=2{\left[\frac{{\mathrm{e}}^{kx}}{k}\right]}_0^{+\infty }=2\left(0-\frac{1}{k}\right)=-\frac{2}{k}.$$

令 $-\frac{2}{k}=1$，解得 $k=-2$。