2009 年考研数学（二） 第 9 题

参数曲线求切线三步走：定参数、求 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t$ 与 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$、相除得斜率。这里 $x$ 由变限积分给出，$\mathrm{d}x/\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-(1-t{)}^2}\cdot (1-t{)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-(1-t{)}^2}$；在 $t=1$ 各量都好算。$\ln (2-t^2)$ 在 $t=1$ 处为 $0$，使 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t$ 只剩第二项 $-2$，斜率 $2$ 自然浮现。

本题考查参数方程求导（含变限积分求导）与切线方程。 先确定点 $(0,0)$ 对应的参数。

当 $x=0$ 时 ${\int }_0^{1-t}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=0\Rightarrow 1-t=0\Rightarrow t=1$；此时 $y=1^2\cdot \ln (2-1)=0$，故点 $(0,0)$ 对应 $t=1$。

求导：$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}={\mathrm{e}}^{-(1-t{)}^2}\cdot (-1)$，在 $t=1$ 处为 $-1$；$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2t\ln (2-t^2)+t^2\cdot \frac{-2t}{2-t^2}$，在 $t=1$ 处为 $0+1\cdot (-2)=-2$。

斜率 $k=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}{|}_{t=1}=\frac{-2}{-1}=2$。切线方程 $y-0=2(x-0)$，即 $y=2x$。