2009 年考研数学（二） 第 8 题

列的线性组合等价于右乘一个矩阵 $S$，即 $Q=PS$。把 $Q^{\mathrm{T}}AQ$ 拆成 $S^{\mathrm{T}}(P^{\mathrm{T}}AP)S$ 后，中间那块正是题给的对角阵，问题化为一次三矩阵乘法。注意 $S$ 不是正交阵，所以结果不再对角——出现的 $(1,2)$ 与 $(2,1)$ 元来自 ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ 与 ${\alpha }_2$ 的交叉项，故选带 $1$ 的 A。

本题考查合同变换与分块（列变换）矩阵乘法。 列的线性组合等价于右乘一个矩阵。

由 $Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 知 $Q=PS$，其中 $S=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

故 $Q^{\mathrm{T}}AQ=S^{\mathrm{T}}(P^{\mathrm{T}}AP)S=S^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)S$。

计算：
$$Q^{\mathrm{T}}AQ=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$
故选 A。