2009 年考研数学（二） 第 7 题

伴随矩阵的万能公式是 $X^{\ast }=|X|X^{-1}$。对分块反对角矩阵，行列式带符号 $(-1{)}^{mn}$、逆矩阵把两块互换并各自取逆。于是 $M^{\ast }=|M|\cdot M^{-1}$ 出现 $6B^{-1},6A^{-1}$，再用 $A^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{\ast },B^{-1}=\frac{1}{3}{B}^{\ast }$ 换算，系数 $6$ 被 $|A|=2,|B|=3$ 分别约成 $3$ 和 $2$，位置随之对应，得到 B。

本题考查伴随矩阵公式 $X^{\ast }=|X|X^{-1}$ 与分块矩阵的行列式、逆。 记 $M=\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$（$4$ 阶）。

分块反对角行列式：$|M|=(-1{)}^{2\times 2}|A||B|=|A||B|=6$。

分块反对角逆：${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$，故
$$M^{\ast }=|M|M^{-1}=6\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}O& 6B^{-1}\\ 6A^{-1}& O\end{array}\right).$$

再用 $A^{\ast }=|A|A^{-1}=2A^{-1}\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{\ast }$，同理 $B^{-1}=\frac{1}{3}{B}^{\ast }$。代入：$6B^{-1}=2B^{\ast },6A^{-1}=3A^{\ast }$。

故 $M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}O& 2B^{\ast }\\ 3A^{\ast }& O\end{array}\right)$，选 B。