2009 年考研数学（二） 第 6 题

抓三条判据即可秒排：① $x<0$ 段 $f=1\Rightarrow F=x$（过原点、取负），排除「取正或不过原点」的图；② $f$ 只有跳跃间断 $\Rightarrow F$ 必连续，排除有断点的图；③ $F^{\prime }=f$ 定增减，$f$ 由负变正 $\Rightarrow F$ 先降后升、$x=1$ 处极小，$x>2$ 处 $f=0\Rightarrow F$ 水平。三条同时满足的是 D。

本题考查变限积分函数 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 的性质（几何意义、连续性、增减）。 用三条判据逐一排除。

当 $-1\le x<0$ 时 $f(x)=1$，故 $F(x)={\int }_0^{x}1\mathrm{d}t=x$，是过原点、位于第三象限的线段（$x<0$ 时 $F<0$）。据此排除 A（$F$ 在 $x<0$ 取正）与 C（$F(0)=1\ne 0$）。

因 $f$ 在 $[-1,3]$ 上只有 $x=0,x=2$ 两个第一类（跳跃）间断点，故 $F(x)={\int }_0^{x}f$ 处处连续。B 在 $x=2$ 处出现跳跃，排除 B。

剩下 D 正确：$x<0$ 段 $F=x$；在 $[0,2]$ 上因 $f$ 在 $(0,1)$ 为负、在 $(1,2)$ 为正，由 $F^{\prime }=f$ 知 $F$ 先减到 $x=1$ 的最小值再增；$x\ge 2$ 段 $f=0$ 故 $F$ 为常数（水平段），整体连续。故选 D。