2009 年考研数学（二） 第 5 题

曲率圆是「最贴合」的圆，一次给两条信息：切点坐标（$f(1)=1$）与切线斜率（$f^{\prime }(1)=-1$）。$f^{\prime \prime }$ 不变号把局部凹凸推广到整个 $[1,2]$；圆心在原点、位于曲线下方说明曲线上凸 $f^{\prime \prime }<0$，于是 $f^{\prime }$ 从 $-1$ 继续下降、全程为负 $\Rightarrow$ 单调无极值。再借 $f(1)>0$、$f^{\prime }(\xi )<-1$ 推出 $f(2)<0$，异号即有零点。

本题综合考查曲率圆、单调性与极值、零点存在性。 先由曲率圆读出该点的函数值与导数。

曲率圆 $x^2+y^2=2$ 过 $(1,1)$，与曲线在该点相切且曲率相同。对圆 $2x+2y{y}^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }{|}_{(1,1)}=-1$，故 $f(1)=1,f^{\prime }(1)=-1$。

$f^{\prime \prime }(x)$ 不变号说明凹凸性不变；曲率圆圆心在原点 $(0,0)$，位于曲线下方，故曲线在 $(1,1)$ 处上凸，即 $f^{\prime \prime }(x)<0$。

由 $f^{\prime }(1)=-1$ 且 $f^{\prime \prime }(x)<0$（$f^{\prime }$ 递减），在 $(1,2)$ 上 $f^{\prime }(x)<-1<0$，$f$ 严格单调递减，故无极值点。

又 $f(1)=1>0$；由拉格朗日中值定理 $f(2)-f(1)=f^{\prime }(\xi )<-1$，得 $f(2)<0$。因 $f(1)f(2)<0$，由零点定理，$f$ 在 $(1,2)$ 内有零点。故选 B。