2009 年考研数学（二） 第 4 题

两个二次积分相加，本质是「在两块区域上分别积分再合并」。$D_1$ 在 $y=x$ 上方、$D_2$ 在下方，正好拼成一个完整四边形。选择先对 $x$ 积分能一步写成单个积分：$x$ 的下界统一为 $1$、上界为斜边 $x=4-y$。若先对 $y$ 积分反而要分两段，所以取 $Y$ 型表达即 C。

本题考查二重积分的合并与交换积分次序。 先分别画出两块区域，再合并、按合适次序重写。

第一个积分区域 $D_1=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,x\le y\le 2\}$，是顶点 $(1,1),(1,2),(2,2)$ 的三角形（直线 $y=x$ 上方）。

第二个积分区域 $D_2=\{(x,y)\mid 1\le y\le 2,y\le x\le 4-y\}$，是顶点 $(1,1),(3,1),(2,2)$ 的三角形（$y=x$ 下方、$x+y=4$ 左侧）。

合并 $D=D_1\cup D_2$，改用「先对 $x$ 积分」（$Y$ 型）：对固定的 $y\in [1,2]$，$D_1$ 提供 $x\in [1,y]$，$D_2$ 提供 $x\in [y,4-y]$，合起来 $x\in [1,4-y]$。

故 $D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 4-y,1\le y\le 2\}$，原式 $={\int }_1^2\mathrm{d}y{\int }_1^{4-y}f(x,y)\mathrm{d}x$。选 C。