2009 年考研数学（二） 第 3 题

全微分给出的正是两个一阶偏导。既然 $f_x=x,f_y=y$ 同时在原点为零，原点是驻点；二阶判别 $AC-B^2=1>0$、$A>0$ 直接判定极小。更快的办法是把 $\mathrm{d}z$ 反凑成 $\mathrm{d}\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)$，$f$ 本质是开口向上的抛物面，原点就是谷底。

本题考查全微分与二元函数极值判定。 由全微分读出一阶偏导，再用 $AC-B^2$ 判别法。

由 $\mathrm{d}z=x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y$ 知 $\frac{\partial z}{\partial x}=x,\frac{\partial z}{\partial y}=y$。$z$ 可微必连续，排除 A。

在 $(0,0)$ 处 $f_x=f_y=0$，是驻点。二阶偏导 $A=f_{xx}=1,B=f_{xy}=0,C=f_{yy}=1$，$AC-B^2=1>0$ 且 $A>0$，故 $(0,0)$ 是极小值点。

（也可直接反凑 $\mathrm{d}z=\mathrm{d}\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)$，得 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)+C$，显然 $(0,0)$ 是最低点。）故选 D。