2009 年考研数学（二） 第 2 题

两个无穷小等价 $\iff$ 同阶且主部系数相等。右边 $g\sim -b{x}^3$ 是三阶，所以左边也必须是三阶——这就要求 $f$ 的一阶项 $(1-a)x$ 消失，逼出 $a=1$；随后 $f$ 的三阶主部 $\frac{a^3}{6}{x}^3=\frac{1}{6}{x}^3$ 与 $-b{x}^3$ 相等给出 $b=-\frac{1}{6}$。核心口诀是「先定阶数（消低阶项）再比系数」。

本题考查等价无穷小的判定与麦克劳林展开。 等价无穷小要求两者同阶且主部系数相等。

先看 $g(x)=x^2\ln (1-bx)\sim x^2\cdot (-bx)=-b{x}^3$，是三阶无穷小。

再把 $f(x)=x-\sin ax$ 用麦克劳林展开：$\sin ax=ax-\frac{(ax{)}^3}{3!}+o(x^3)$，故
$$f(x)=x-\sin ax=(1-a)x+\frac{a^3}{6}{x}^3+o(x^3).$$

要使 $f$ 也是三阶无穷小，必须消去一阶项：$1-a=0\Rightarrow a=1$，此时 $f(x)\sim \frac{1}{6}{x}^3$。

再由等价（比值为 $1$）：$\frac{f}{g}\to \frac{\frac{1}{6}{x}^3}{-b{x}^3}=1\Rightarrow -\frac{1}{6b}=1\Rightarrow b=-\frac{1}{6}$。故 $a=1,b=-\frac{1}{6}$，选 A。