2009 年考研数学（二） 第 1 题

可去间断点是「极限存在但函数在该点无定义」的点。分母 $\sin \pi x$ 在每个整数处为零，但分子 $x(1-x)(1+x)$ 只在 $x=0,1,-1$ 处为零，恰好抵消一个零因子形成 $0/0$ 型有限极限；其余整数点是「有限/0=$\infty$」的第二类间断。所以关键是数「分子分母的公共零点」，共 $3$ 个。

本题考查函数的间断点分类。 分母 $\sin \pi x=0$ 给出间断点 $x=k(k\in \mathbb{Z})$，逐点判断极限是否存在（有限）来区分可去与第二类间断点。

$x=0$：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-x^3}{\sin \pi x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\pi x}=\frac{1}{\pi }$，极限有限，为可去间断点。

$x=1$：$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-x^3}{\sin \pi x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x(1-x)(1+x)}{\sin \pi (1-x)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x(1-x)(1+x)}{\pi (1-x)}=\frac{2}{\pi }$，可去间断点。

$x=-1$：同理 $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x-x^3}{\sin \pi x}=\frac{2}{\pi }$，可去间断点。

当 $x=k(k\in \mathbb{Z},k\ne 0,\pm 1)$ 时，分子 $x-x^3=x(1-x)(1+x)\ne 0$，而分母 $\to 0$，故 $\underset{x\to k}{\lim }f(x)=\infty$，是第二类（无穷）间断点。

综上，可去间断点为 $x=0,1,-1$，共 $3$ 个。故选 C。