2009 年考研数学（二） 第 23 题

（Ⅰ）二次型 $\leftrightarrow$ 对称矩阵是固定对应；此题特征多项式恰好因式分解出 $a\text{、}a\pm 1$ 三根。（Ⅱ）规范形只由正、负惯性指数决定：$y_1^2+y_2^2$ 意味着 $(p,q)=(2,0)$、秩 $2\Rightarrow$ 特征值符号必是 $(+,+,0)$。三根 $a-2<a<a+1$ 大小固定，唯一能凑出「两正一零」的是最小根为零，得 $a=2$。用符号排序秒杀比逐一代入更快。

本题考查二次型的矩阵、特征值与规范形（正负惯性指数）。

（Ⅰ） 二次型矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 0& a& -1\\ 1& -1& a-1\end{array}\right)$（对角为平方项系数；$x_1{x}_3$ 系数 $2\Rightarrow$ 对称元 $1$，$x_2{x}_3$ 系数 $-2\Rightarrow$ 对称元 $-1$，$x_1{x}_2$ 系数 $0$）。

特征多项式
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& 0& -1\\ 0& \lambda -a& 1\\ -1& 1& \lambda -a+1\end{array}\right|=(\lambda -a)[\lambda -(a+1)][\lambda -(a-2)]=0,$$
故 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=a,{\lambda }_2=a+1,{\lambda }_3=a-2$。

（Ⅱ） 规范形为 $y_1^2+y_2^2$，说明正惯性指数为 $2$、负惯性指数为 $0$、秩为 $2$，即特征值中恰有两个为正、一个为零。

三个特征值满足 $a-2<a<a+1$（已按大小排列）。要「两正一零」，只能让最小者 $a-2=0$，即 $a=2$，此时 $\lambda =0,2,3$（两正一零），符合。

（验证其余：$a=0$ 时特征值 $-2,0,1$（一正一负），规范形 $y_1^2-y_2^2$，不合；$a=-1$ 时特征值 $-3,-1,0$（两负），规范形 $-y_1^2-y_2^2$，不合。）故 $a=2$。