2008 年考研数学（二） 第 22 题

三对角行列式的通用武器是「按行/列展开得二阶递推」$D_n=2a{D}_{n-1}-a^2{D}_{n-2}$，再归纳或迭代求通项 $(n+1)a^n$。第（Ⅱ）问算 $x_1$ 别真去解方程组：克拉默法则里替换第一列后，沿新列展开就退化成低一阶的同型行列式 $n{a}^{n-1}$，除以 $|A|$ 即得。第（Ⅲ）问最妙的是发现 $a=0$ 会让矩阵「塌」成只剩超对角线的 $1$，方程组变得极其简单——逐行读出 $x_2=1$、其余为 $0$、$x_1$ 自由，特解与基础解系一眼可见。

本题考查三对角行列式的计算与线性方程组解的讨论。

（Ⅰ） 记 $D_n=|A|$，按第一列展开得递推 $D_n=2a{D}_{n-1}-a^2{D}_{n-2}$。用数学归纳法：$n=1$ 时 $D_1=2a=(1+1)a^1$，成立；设 $D_k=(k+1)a^k$、$D_{k-1}=k{a}^{k-1}$，则
$$D_{k+1}=2a{D}_k-a^2{D}_{k-1}=2a(k+1)a^k-a^2\cdot k{a}^{k-1}=2(k+1)a^{k+1}-k{a}^{k+1}=(k+2)a^{k+1}.$$
故对一切自然数 $n$，$|A|=(n+1)a^n$。

（Ⅱ） 当 $|A|=(n+1)a^n\ne 0$，即 $a\ne 0$ 时，$r(A)=n$，方程组有唯一解。由克拉默法则 $x_1=\frac{D_{(1)}}{|A|}$，其中 $D_{(1)}$ 是把 $A$ 第一列换成 $\mathbf{b}=(1,0,\cdots ,0{)}^T$ 所得行列式。按第一列展开，$D_{(1)}$ 等于 $A$ 去掉第一行第一列后的 $(n-1)$ 阶三对角行列式，其结构与 $A$ 同型，值为 $n{a}^{n-1}$。故
$$x_1=\frac{n{a}^{n-1}}{(n+1)a^n}=\frac{n}{(n+1)a}.$$

（Ⅲ） 当 $a=0$ 时，$|A|=0$，$r(A)<n$。此时 $A$ 只有超对角线上的 $1$（主对角 $2a=0$、次对角 $a^2=0$），即第 $i$ 行只有第 $(i+1)$ 个元素为 $1$（$i=1,\cdots ,n-1$），第 $n$ 行全为 $0$。方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 化为 $x_2=1,x_3=0,\cdots ,x_n=0$，末行 $0=0$ 恒成立，而 $x_1$ 自由。故 $r(A)=r(\overline{A})=n-1<n$，有无穷多解。

取特解 $\mathbf{\eta }=(0,1,0,\cdots ,0{)}^T$，对应齐次方程 $A\mathbf{x}=0$ 的基础解系为 $\mathbf{\xi }=(1,0,0,\cdots ,0{)}^T$，故通解为
$$\mathbf{x}=C(1,0,0,\cdots ,0{)}^T+(0,1,0,\cdots ,0{)}^T(C\text{为任意常数}).$$