2008 年考研数学（二） 第 23 题

（Ⅰ）证特征/广义特征向量线性无关，通用手法是「设组合为零，再左乘 $A$」制造第二个方程，与原方程相减把 ${\alpha }_3$ 的贡献抵消，问题归结到已知无关的 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$（不同特征值 ⇒ 无关）。（Ⅱ）求 $P^{-1}AP$ 不必真求 $A$：把每个 $A{\alpha }_i$ 写成 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的线性组合，组合系数竖着排成的矩阵就是答案。这里 ${\alpha }_3$ 是「广义特征向量」（$A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3$），使第 $3$ 列出现约当块特有的上方 $1$，得到的不是对角阵而是含约当块的上三角阵。

本题考查特征向量的线性无关性与相似（矩阵表示）。 已知 $A{\mathbf{\alpha }}_1=-{\mathbf{\alpha }}_1$，$A{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_2$，$A{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$。

（Ⅰ） 设 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3=0$ …①。等式两边左乘 $A$，并代入 $A{\mathbf{\alpha }}_1=-{\mathbf{\alpha }}_1$、$A{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_2$、$A{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$，得
$$-k_1{\mathbf{\alpha }}_1+(k_2+k_3){\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3=0\cdots \text{②}.$$
由 ①$-$② 得 $2k_1{\mathbf{\alpha }}_1-k_3{\mathbf{\alpha }}_2=0$。因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 是属于不同特征值 $-1,1$ 的特征向量，故线性无关，于是 $2k_1=0,k_3=0$，即 $k_1=k_3=0$。代回 ① 得 $k_2{\mathbf{\alpha }}_2=0$，而 ${\mathbf{\alpha }}_2\ne 0$，故 $k_2=0$。因此 $k_1=k_2=k_3=0$，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关。

（Ⅱ） 因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，故 $P=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 可逆。由
$$AP=(A{\mathbf{\alpha }}_1,A{\mathbf{\alpha }}_2,A{\mathbf{\alpha }}_3)=(-{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$
两边左乘 $P^{-1}$ 得
$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$