2008 年考研数学（二） 第 21 题

两个约束的条件极值，有两条路：设两个乘子 $\lambda ,\mu$ 硬解五元方程组；或先用一个约束 $z=x^2+y^2$ 消元，把三变量两约束降成两变量一约束，方程组更小。无论哪条，前两个方程「相减」都是杀手锏——因 $x,y$ 地位对称，相减能提出因子 $(x-y)$，逼出 $x=y$，问题瞬间一元化。解出两个驻点后，注意约束交线其实是一条有界闭曲线（配方成圆），故 $u$ 的最值一定在驻点取到，直接比大小即得 $\min =6$、$\max =72$。

本题考查条件极值（拉格朗日乘数法）。 有两个约束，可设两个乘子，或先消去 $z$ 化为两个变量。

方法（消元 + 拉格朗日乘数法）：由 $z=x^2+y^2$ 代入目标与另一约束。目标化为 $u=x^2+y^2+(x^2+y^2{)}^2$，约束 $x+y+z=4$ 化为 $x+y+x^2+y^2=4$。作
$$F(x,y,\lambda )=x^2+y^2+(x^2+y^2{)}^2+\lambda \left(x+y+x^2+y^2-4\right).$$

令偏导为零：
$$\{\begin{array}{l}{F}_x=2x+4x(x^2+y^2)+\lambda (1+2x)=0,\\ F_y=2y+4y(x^2+y^2)+\lambda (1+2y)=0,\\ F_{\lambda }=x+y+x^2+y^2-4=0.\end{array}$$
前两式相减：$2(x-y)+4(x-y)(x^2+y^2)+2\lambda (x-y)=0$，即 $(x-y)[2+4(x^2+y^2)+2\lambda ]=0$。由约束知 $x^2+y^2=4-(x+y)\ge 0$，中括号内一般不为零，故 $x=y$。

代入约束 $2x+2x^2=4$，即 $x^2+x-2=0$，解得 $x=1$ 或 $x=-2$。于是得两组驻点：$(x,y)=(1,1)$ 与 $(x,y)=(-2,-2)$。

计算目标值（相应 $z=x^2+y^2$）：
当 $(x,y)=(1,1)$ 时，$z=2$，$u=1+1+4=6$；
当 $(x,y)=(-2,-2)$ 时，$z=8$，$u=4+4+64=72$。
因约束曲线 $\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2\\ x+y+z=4\end{array}$（即 ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{2}$，为有界闭曲线）上 $u$ 连续，必取到最值，故最小值为 $6$，最大值为 $72$。