2008 年考研数学（二） 第 20 题

（Ⅰ）积分中值定理的标准证法：连续 ⇒ 有最值 ⇒ 夹出积分平均值介于 $m,M$ 之间 ⇒ 介值定理找到 $\eta$。（Ⅱ）是「涉及三个点函数值、要证二阶导符号」的题，套路是「两次拉格朗日」：先把积分条件 ${\int }_2^3\phi =\phi (c)$ 转成第三个点的函数值，凑成 $\phi (1)<\phi (2)>\phi (c)$ 这个「中间高、两边低」的形状；它保证左侧斜率 ${\phi }^{\prime }({\xi }_1)>0$、右侧斜率 ${\phi }^{\prime }({\xi }_2)<0$，斜率由正变负，对 ${\phi }^{\prime }$ 再用一次中值定理就逼出 ${\phi }^{\prime \prime }(\xi )<0$。

本题考查积分中值定理的证明及拉格朗日中值定理的多次运用。

（Ⅰ）证明积分中值定理。 因 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，故在 $[a,b]$ 上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$。由 $m\le f(x)\le M$，积分得
$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a),\text{即}m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M.$$
由闭区间上连续函数的介值定理，存在 $\eta \in [a,b]$，使得 $f(\eta )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$，即 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\eta )(b-a)$。

（Ⅱ） 令 $F(x)={\int }_2^x\phi (t)dt$，则 $F^{\prime }(x)=\phi (x)$。由牛顿–莱布尼茨公式，${\int }_2^3\phi (x)dx=F(3)-F(2)$；再由拉格朗日中值定理，存在 $c\in (2,3)$，使 $F(3)-F(2)=F^{\prime }(c)(3-2)=\phi (c)$。于是 ${\int }_2^3\phi (x)dx=\phi (c)$。结合条件 $\phi (2)>{\int }_2^3\phi (x)dx$ 得 $\phi (2)>\phi (c)$。

对 $\phi (x)$ 分别在 $[1,2]$ 与 $[2,c]$ 上用拉格朗日中值定理：存在 ${\xi }_1\in (1,2)$、${\xi }_2\in (2,c)$，使
$${\phi }^{\prime }({\xi }_1)=\frac{\phi (2)-\phi (1)}{2-1}>0,{\phi }^{\prime }({\xi }_2)=\frac{\phi (c)-\phi (2)}{c-2}<0.$$
（前者由 $\phi (2)>\phi (1)$，后者由 $\phi (c)<\phi (2)$。）

因 ${\xi }_1<2<{\xi }_2$，再对 ${\phi }^{\prime }(x)$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上用拉格朗日中值定理：存在 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (1,3)$，使
$${\phi }^{\prime \prime }(\xi )=\frac{{\phi }^{\prime }({\xi }_2)-{\phi }^{\prime }({\xi }_1)}{{\xi }_2-{\xi }_1}<0.$$
（分子 ${\phi }^{\prime }({\xi }_2)-{\phi }^{\prime }({\xi }_1)<0$，分母 $>0$。）证毕。