2008 年考研数学（二） 第 19 题

这是「几何量给出积分方程 → 求导变微分方程 → 解方程」的典型三段式。要点一：准确写出两个旋转体公式，侧面积务必带弧长因子 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}$（易漏）。要点二：把条件写成 ${\int }_0^t(\cdots )dx={\int }_0^t(\cdots )dx$ 后，对上限 $t$ 求导瞬间消掉积分，得到 $1+y^{\prime 2}=y^2$。要点三：解 $\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=dx$ 得 $\ln (y+\sqrt{y^2-1})=x+C$，配合初值与共轭相加技巧，答案正是双曲余弦 $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$。

本题考查旋转体的侧面积、体积公式与微分方程的建立求解。 先把「侧面积 $=2\times$ 体积」写成积分方程，再求导化为微分方程。

设 $y=f(x)>0$。旋转体的体积与侧面积分别为
$$V(t)=\pi {\int }_0^t{f}^2(x)dx=\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx,S(t)=2\pi {\int }_0^{t}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx=2\pi {\int }_0^{t}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx.$$
由题意 $S(t)=2V(t)$，即
$$2\pi {\int }_0^{t}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx=2\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx⟹{\int }_0^{t}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx={\int }_0^t{y}^{2}dx.$$

两端对 $t$ 求导（去掉积分）：$y\sqrt{1+y^{\prime 2}}=y^2$。因 $y=f(x)>0$，两端除以 $y$ 得 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=y$，即
$$1+y^{\prime 2}=y^2.$$

解此微分方程。 因 $f$ 单调增加，$y^{\prime }\ge 0$，取 $\frac{dy}{dx}=\sqrt{y^2-1}$。分离变量 $\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=dx$，积分得 $\ln \left(y+\sqrt{y^2-1}\right)=x+\ln C$，即 $y+\sqrt{y^2-1}=C{e}^x$。

由 $f(0)=1$（此时 $\sqrt{y^2-1}=0$）得 $C=1$，故 $y+\sqrt{y^2-1}=e^x$。与其「共轭式」$y-\sqrt{y^2-1}=\frac{1}{y+\sqrt{y^2-1}}=e^{-x}$ 相加，得
$$2y=e^x+e^{-x},f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$$