2008 年考研数学（二） 第 18 题

遇到 $\max \{f,g\}$ 型被积函数，第一步永远是「找分界线 $f=g$ 把区域切开」，本题分界线是 $xy=1$。切开后 $\max$ 在每块上都变成确定的表达式，积分就常规了。技巧点：$D_1$ 用 $\frac{1}{x}\le y\le 2$ 描述最省事（$x$ 只需从 $\frac{1}{2}$ 到 $2$，因 $x<\frac{1}{2}$ 时 $\frac{1}{x}>2$ 已超出正方形）；而 $D_2$ 上被积函数是常数 $1$，直接算它的面积即可，用「$4-$（$D_1$ 面积）」比重新定限更快。

本题考查含 $\max$ 的二重积分。 关键是用曲线 $xy=1$ 把正方形 $D$ 分成两块，分别去掉 $\max$。

在 $D$ 内，双曲线 $xy=1$（即 $y=\frac{1}{x}$）过点 $\left(\frac{1}{2},2\right)$ 与 $\left(2,\frac{1}{2}\right)$。记
$$D_1=\left\{(x,y)|\frac{1}{2}\le x\le 2,\frac{1}{x}\le y\le 2\right\}(\text{此处 }xy\ge 1),D_2=D-D_1(\text{此处 }xy\le 1).$$
则 $\max \{xy,1\}$ 在 $D_1$ 上为 $xy$、在 $D_2$ 上为 $1$，故
$${\iint }_D\max \{xy,1\}dxdy={\iint }_{D_1}xydxdy+{\iint }_{D_2}1dxdy.$$

计算 ${\iint }_{D_1}xydxdy$：
$${\iint }_{D_1}xydxdy={\int }_{1/2}^{2}xdx{\int }_{1/x}^{2}ydy=\frac{1}{2}{\int }_{1/2}^{2}x\left(4-\frac{1}{x^2}\right)dx=\frac{1}{2}{\int }_{1/2}^2\left(4x-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{15}{4}-\ln 2.$$

计算 ${\iint }_{D_2}1dxdy$（用总面积减去 $D_1$ 的面积）：
$${\iint }_{D_2}1dxdy=4-{\iint }_{D_1}1dxdy=4-{\int }_{1/2}^2\left(2-\frac{1}{x}\right)dx=4-(3-2\ln 2)=1+2\ln 2.$$

两部分相加：
$${\iint }_D\max \{xy,1\}dxdy=\left(\frac{15}{4}-\ln 2\right)+\left(1+2\ln 2\right)=\frac{19}{4}+\ln 2.$$