2008 年考研数学（二） 第 17 题

看到 $\sqrt{1-x^2}$ 配 $\arcsin x$，三角换元 $x=\sin t$ 是不二之选——它让根号变 $\cos t$、$\arcsin x$ 变 $t$，还与 $dx$ 里的 $\cos t$ 约掉，积分立刻塌成清爽的 $\int t{\sin }^{2}tdt$。之后是「多项式 × 三角」的标准分部积分，先用倍角公式降幂，$\int tdt$ 给主项 $\frac{{\pi }^2}{16}$，$\int t\cos 2tdt$ 分部后边界项为 $0$、只剩 $-\frac{1}{2}$，合起来 $\frac{{\pi }^2}{16}+\frac{1}{4}$。

本题考查定积分的三角换元与分部积分。 被积函数含 $\sqrt{1-x^2}$ 且带 $\arcsin x$，令 $x=\sin t$ 最自然。

令 $x=\sin t$，$dx=\cos tdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$，$\arcsin x=t$；当 $x:0\to 1$ 时 $t:0\to \frac{\pi }{2}$。于是
$${\int }_0^1\frac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2}t\cdot t}{\cos t}\cos tdt={\int }_0^{\pi /2}t{\sin }^{2}tdt.$$

用降幂公式 ${\sin }^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}$：
$${\int }_0^{\pi /2}t{\sin }^{2}tdt=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}tdt-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}t\cos 2tdt.$$
第一项 $\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}tdt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^2}{2}{|}_0^{\pi /2}=\frac{{\pi }^2}{16}$。

第二项分部积分：${\int }_0^{\pi /2}t\cos 2tdt=\frac{t\sin 2t}{2}{|}_0^{\pi /2}-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}\sin 2tdt=0-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\cos 2t}{2}\right){|}_0^{\pi /2}$
$=\frac{1}{4}(\cos 2t){|}_0^{\pi /2}=\frac{1}{4}(\cos \pi -\cos 0)=\frac{1}{4}(-1-1)=-\frac{1}{2}$。

故原式 $=\frac{{\pi }^2}{16}-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{16}+\frac{1}{4}$。